Поглиблений посібник з грецьких змінних торгів опціонами

Греки

Греки - дельта, гамма, тета, вега та ро - це п’ять змінних, які допомагають визначити ризики позиції опціону.

Ризики, з якими інвестори стикаються в опціонах, не є одновимірними. Для того, щоб мати справу з мінливими ринковими умовами, інвестор повинен знати про масштаби цих змін. Щоб побачити, чи є зміни великими чи малими, чи створюють вони великий чи незначний ризик, теорія опціонів та моделі ціноутворення опціонів забезпечують інвесторів змінними, що визначають характеристики ризику їх позиції опціону. Ці змінні називаються греками. Є п’ять греків, за якими ми спостерігаємо: дельта, гама, тета, вега та ро.

Оскільки греки є похідними формули Блека і Скоулза, ми почнемо з того, що пояснимо ще трохи про це.

Блек і Скоулз

Формула Блека і Скоулза, іноді відома як формула Блека, Скоулза та Мертона, є стандартним інструментом ринку для встановлення цін. Ця формула цінового опціону як функція поточної ціни акцій S ₀, часу до погашення опціону T, його удару X, волатильності σ та процентної ставки r:

виклик = S ⁰ N (d ₁) - Xe ^-rT N (d ₂)

put = Xe ^-rT N (-d ₂) - S ₀ N (-d ₁) з

де N (x) - кумулятивна нормальна функція розподілу для стандартного нормального розподілу, тобто ймовірність того, що випадкова величина ~ N (0,1) (зі стандартним нормальним розподілом) менша за x.

Перш ніж обговорювати формулу, давайте викладемо основні припущення. Формула Блека і Скоулза передбачає:

Повернення - це IID (незалежні та однаково розподілені) із нормальним розподілом.
Майбутня волатильність відома і постійна.
Майбутня процентна ставка відома, постійна і однакова для запозичень та позик.
Шлях до акцій безперервний, і можлива безперервна торгівля.
Витрати на операції є нульовими.

Для розвитку теорії ми припускаємо, що всі ці припущення виконуються. Ця формула є ринковим стандартом, оскільки є надзвичайно надійною щодо порушень її припущень.

Дельта

Перша грецька мова, про яку піде мова, - це дельта. В основному дельта - це чутливість теоретичного значення опціону до зміни ціни базового контракту. Більш просто, дельта - це зміна вартості опціону, коли основна вартість зростає на 1 долар. Наприклад:

Δ _виклик = ∂c / ∂S = N (d ₁) і Δ _put = ∂p / ∂S = N (d ₁) - 1,

з N (d ₁), як у формулі BS.

Вартість опціону на виклик збільшується, коли ціна акції зростає, тому дельта опціону на виклик є позитивною. І навпаки, вартість опціону пут зменшується, коли ціна акції зростає, тому дельта опціону пут є негативною.

Можна відзначити, що N (x) є функцією щільності ймовірності, тому вона приймає значення в. Тоді дельта одного дзвінка завжди входить і дельта одного входу. Оскільки базовий рівень, як правило, становить 100 акцій, дельта опціону множиться на 100. Наприклад, опціон з дельтою 0,25 розглядається як дельта 25. Чим вище дельта, тим більше схожа зміна значення опціону бути базовим запасом. Вартість опціону з дельта-100 рухатиметься точно з тією ж швидкістю, що і основна акція. Також зауважте, що операція похідної є лінійною, тому ми можемо обчислити дельту кожного варіанту та підсумувати їх, щоб отримати дельту всього портфоліо (тоді це, звичайно, може бути поза межами).

Коли опціон наближається до закінчення терміну дії, його дельта зміниться, оскільки ймовірність закінчення чи втрати грошей змінюється, а нормальний розподіл звужується і центрується навколо середнього значення. У міру наближення опціону до закінчення терміну дії грошові опціони рухатимуться до дельти 100, а грошові опціони - до дельти 0. А грошові опціони, навпаки, залишатимуться навколо дельти 50.

Оскільки основна ціна акцій змінюється в ціні, дельта також змінюється. Це слід очікувати, оскільки d ₁ є функцією ціни акцій.

Дельта дзвінка

Практичним тлумаченням дельти є коефіцієнт хеджування: сума акцій, яку слід придбати або продати, щоб нейтралізувати спрямованість ризику опціону. З формули BS ми бачимо інше тлумачення. Грубо кажучи, можна сказати, що дельта опціону - це його ймовірність закінчення терміну дії грошей. (За пут ми візьмемо абсолютне значення). Однак це наближення працює лише для європейських варіантів.

Підсумовуючи, є три інтерпретації дельти:

Зміна вартості опціону, якщо основний капітал збільшується на 1 долар.
Коефіцієнт хеджування: кількість акцій, які потрібно придбати або продати для нейтралізації спрямованого ризику позиції.
Шанс на те, що опціон потрапить у гроші після закінчення терміну дії

→ Виклики OTM: дельта має тенденцію до 0, коли ми наближаємось до закінчення терміну дії.

→ Виклики ITM: дельта з часом проходить до 100.

Дельта путу проти базової ціни

Дельта проти волатильності

Коли волатильність зростає (зменшується), дельта дзвінка рухається до (від) 0,50, а дельта пута до (від) -0,50. Отже, якщо волатильність зростає (зменшується), дельта грошового опціону зменшується (збільшується). У випадку опціону з грошима, це прямо протилежне.

Дельта проти часу

З плином часу дельта дзвінка віддаляється від 0,50, а дельта виклику від -0,50. З часом дельта грошового виклику рухається до 1, а дельта вихідних грошей - до 0.

Гамма

Гама - похідна від дельти як функція від ціни акцій. Оскільки дельта є похідною вартості опціону як функція базового фонду, гамма - це зміна дельти, коли ціна акції зростає на 1 долар. Це пишеться так:

Γ = δ ₂ c / δS ² = N '(d ₁) / S ₀ σ √T

з d _1, як у формулі BS, а N '- перша похідна функції кумулятивної щільності Гауса, тобто звичайна гауссова щільність:

Гама проти ціни акцій, гама проти часу

Часто кажуть, що гама досягає свого максимального значення, коли опціоном є банкомат. Це правильно, як перше наближення, однак, реальний максимум досягається, коли ціна акції знаходиться трохи нижче ціни страйку. Цей ефект показаний у лівій частині малюнка вище для біржових торгів на рівні 100 доларів. З огляду на удар X, летючості а, а швидкість г, і час закінчення T, вартість акцій дають максимальні гамма S _{макс Γ} = Хе ^{- (г + 3σ ^ 2/2) Т}.

Гамма-крива виклику та путу однакові. Це узгоджується з тим, що ми говорили про дзвінки та ставки загалом, а також, зокрема, про гамму до цього часу.

Коли час до закінчення терміну дії зменшується, гамма і тета опціонів, що містять гроші, зростають. Безпосередньо перед закінченням терміну дії ці змінні можуть стати значно більшими.

Гама проти часу

Як видно з наведеного малюнка, графік звужується, але загальна поверхня під ним залишається незмінною. Як наслідок, графік отримує набагато вищий верх. Верхній верх символізує збільшення гамми та тета, оскільки час до закінчення закінчується.

Через поведінку викликів ITM, ATM та OTM ми бачимо, що дельта-крива буде посилюватися навколо страйку з наближенням терміну дії. Таким чином, гамма збільшиться для опції банкомату з часом. Однак це не стосується варіантів OTM та ITM.

Гама є важливим параметром ризику, оскільки він визначає, скільки грошей ми можемо отримати або втратити на нашому дельта-нейтральному портфелі, коли ціна акцій змінюється. У наступному прикладі ми оцінимо P / L позиції опціону як наслідок руху базового елемента. Ми будемо приймати постійну гамму в 2,7, тому дельта змінюється на 2,7 за долар рух основного.

Припустимо, ми купуємо 80 дзвінків 1000 разів за 5,52 з ціною акції 79 доларів. Щоб бути дельта-нейтральним, ми повинні продати 51 100 акцій. Ціна акцій розвивається наступним чином:



t =	Ціна акцій
0	79
1	84
2	76
3	79

При t = 1 і t = 2 я відрегулюю хедж, щоб стати дельта-нейтральним. При t = 3 я закриваю свою позицію.

Три способи обчислення зміни вартості позиції

Ось три способи обчислити зміну вартості нашої позиції, перший за допомогою грошового потоку, другий за допомогою дельти, а третій за допомогою гамми.

1. Розрахунок прибутку за допомогою грошових потоків

Спочатку ми розглянемо грошові потоки, як показано в таблиці нижче. У другій колонці відображаються грошові потоки, пов’язані з викликом, а в третій - моя позиція на складі. Останній рядок підсумовує всі:

Тож врешті-решт ми отримуємо прибуток 132 300. Якщо ми маємо довгі опціони і, таким чином, маємо довгу гамма-позицію, нам потрібно купувати акції, якщо ціна акцій знижується, а продавати акції, якщо ціна акцій зростає (купувати низько, продавати високо), тому ми завжди отримуємо прибуток, якщо акції рухаються. Переконайтесь самі, що це дійсно як для дзвінків, так і для путів.

2. Розрахунок прибутку за допомогою Delta

Тепер ми розглянемо другий спосіб обчислення прибутку. Торги однакові, просто розрахунок прибутку відрізняється. За допомогою цього методу ми одночасно розглядаємо опціон та позицію акцій. Ми маємо запас як хеджування для опціону, тому давайте просто розглянемо загальну дельта-позицію. Ми починаємо нейтральну дельту. Потім акції рухаються, ми отримуємо дельти. (Ми обчислюємо дельти, які ми отримуємо, використовуючи різницю між двома даними дельтами для заданих початкових і кінцевих значень запасів. Щоб отримати середню дельту під час руху, ми беремо це значення, поділене на два). Портфель виграє у вартості відповідно до його дельт, як пояснюється нижче.

У цьому випадку ми використовуємо метод середньої дельти. Тобто ми:

Обчисліть середню дельта-позицію під час руху акцій.
Помножте це на інтервал для обчислення прибутку.

В момент t ми хеджуємо, тому купуємо / продаємо акції, щоб дельта знову була нейтральною.

Давайте розглянемо це більш уважно:

При t = 0, біржові торги 79, ми починаємо дельта-нейтральну позицію, тобто у нас є 51 100 акцій
При t = 1, біржові торги 84. Дельта опціонної позиції становить 64,6 * 1000 (з опціонів) -51100 (з акцій). Між t = 0 і t = 1, моя дельта-позиція змінилася від 0 до 13 500. Тоді моя середня дельта для руху була (13500 + 0) / 2 = 6750 (6,75 за дзвінок). Для обчислення PnL моєї позиції я помножую ці дельти на величину переміщення запасу: 6570 * 5 = 33 750 доларів. Щоб реалізувати цей прибуток, мені потрібно продати акції, щоб знову бути дельта-нейтральними.
При t = 2, біржові торги 76. Дельта моєї опціонної позиції становить 43,0 * 1000, а дельта моєї акційної позиції -64600…

Приклад розрахунку прибутку за допомогою гамми.

3. Розрахунок прибутку за допомогою гамми

У наведеному вище прикладі ми розрахували середнє положення дельти, взявши середнє значення початкового положення дельти та кінцевого положення дельти. Цього також можна досягти за допомогою гамми, оскільки гама визначає зміну дельти на долар.

Давайте пояснимо, як:

При t = 0, біржові торги 79, дельта-нейтраль, гама - 2700.
При t = 1, біржові торги 84. Запас перемістився на 5, тому моя нова дельта-позиція становить 5 * 2700. На початку ходу моя дельта становила 0, тому моя середня дельта становить 5 * 2700/2. Запас перемістився на 5, тому портфель отримав 5 * середню дельту = 5 * 5 * 2700/2. Портфель хеджується так, що дельта знову дорівнює 0. Ми називаємо це "скальпуванням гами". Довга гамма-позиція дозволяє купувати низьку ціну і продавати високо.
При t = 2, акції торгуються 76. Це 8 доларів, моя нова дельта-позиція 8 * 2700…

Можна використати таку загальну формулу, якщо почати з дельта-нейтрального портфеля:

P / L = pricemove ^ 2 * gamma / 2