Як обчислити змінені процентні зміни

Соробан для швидкого підрахунку

Девід Вілсон

Що таке зміна відсоткового вмісту?

Ми всі знаємо про процентні зміни. Будь то 25% знижки на вартість нового телевізора у продажах у Чорну п’ятницю або підвищення на 5% вартості поїздів (знову ж таки), зміна суми на відсотки - це щоденна навичка. Але як щодо змін у відсотках складових?

Уявіть, що ви поклали в банк 100 фунтів стерлінгів на ощадний рахунок із фіксованою процентною ставкою 4%, що виплачується щороку. Наприкінці року (за умови, що ви не торкнулися початкового депозиту) ваші гроші збільшаться на 4%, що дасть вам додаткові 4 фунтів стерлінгів і загальну суму 104 фунтів стерлінгів на рахунку.

Якщо ви залишите всі ці гроші на рахунку ще на рік, що станеться тоді? Ви отримуєте в банку ще 4 фунтів стерлінгів і загалом 108 фунтів стерлінгів? Ні. На другий рік ви не тільки отримуєте 4% від початкових 100 фунтів стерлінгів, які все ще знаходяться в банку, але й 4% від додаткових 4 фунтів стерлінгів, які ви заробили за рахунок відсотків у попередньому році. 4% від £ 104 - це £ 4,16, тобто наприкінці другого року на вашому рахунку буде £ 104 + £ 4,16 = £ 108,16. Якщо припустити, що ви не торкаєтеся грошей у певний момент і що процентна ставка 4% залишається незмінною, ви будете заробляти більше грошей щороку, коли сума на вашому рахунку зростає. Це складні відсотки.

Примітка: Якби ви щойно отримували £ 4 щороку, це було б відомо як простий відсоток.

Як розрахувати зростання відсоткового складу

Давайте розглянемо, як розрахувати ріст відсоткового складу (також відомий як відсотковий відсоток при роботі з прикладами, подібними до нашого).

Як і раніше, ви починаєте зі 100 фунтів стерлінгів на банківському рахунку та фіксованою процентною ставкою 4%. Ми могли б знайти 4%, розділивши 100 фунтів на 100, щоб отримати 1%, а потім помноживши це на 4. Це чудово для одного року, але якби ми хотіли визначити, скільки ми матимемо на рахунку 5 або Через 10 років це займе багато часу.

Натомість ми будемо використовувати щось, що називається методом множника. Якщо ми називаємо свій початковий депозит 100%, то після збільшення на 4%, ми отримаємо 104%. Щоб обчислити 104% від суми, ми спочатку перетворюємо відсоток у десятковий знак, ділячи на 100, отримуючи 104/100 = 1,04. Помноживши на це 1,04, ви збільшите суму на 4% за один раз.

Для нашого прикладу у нас є 100 фунтів стерлінгів, тож через рік ми маємо 100 фунтів x 1,04 = 104 фунтів стерлінгів. Після ще одного року ми маємо £ 104 x 1,04 = £ 108,16, потім £ 108,16 x 1,04 = £ 112,49 тощо. Однак ми можемо пришвидшити це ще більше.

Ми множимо на один і той же множник, 1,04, раз на рік, що минає, тому, якщо ми хочемо знайти загальну кількість за кілька років, ми можемо множити на 1,04 стільки разів, використовуючи повноваження.

Наприклад, через 5 років ми матимемо £ 100 x 1,04 x 1,04 x 1,04 x 1,04 x 1,04, що є тим самим, що £ 100 х 1,04 ⁵ = £ 121,67.

Через 25 років ми мали б £ 100 x 1,04 ²⁵ = £ 266,58. Уявіть, скільки часу це зайняло б, якби ми розробляли 4% для кожного року окремо!

Ще один приклад зростання процентного складу

Давайте спробуємо ще один приклад зростання процентного складу.

Населення міста щороку збільшується на 12%. Якщо воно починається з 30 000 людей, і якщо цей приріст залишається постійним, якою буде кількість населення через 6 років? Що можна сказати через 20 років?

Отже, ми починаємо зі 100% і хочемо збільшення на 12%, отже, у нас вийде 112%, що становить 1,12 як десятковий знак.

Отже, через 6 років населення становитиме 30000 x 1,12 ⁶ = 59 215.

Через 20 років це буде 30 000 x 1,12 ²⁰ = 289 389.

Що можна сказати про зменшення відсотка сполук?

Зниження відсотка сполуки (також відоме як розпад сполуки) - це коли кількість зменшується на той самий відсоток кілька разів. Метод виявлення цього дуже схожий на пошук збільшення.

Припустимо, ви купили автомобіль за 20 000 фунтів стерлінгів, і щороку вартість автомобіля падає на 15%. Ми хочемо з’ясувати, скільки коштуватиме машина через п’ять років.

Ми можемо знайти 15% від 20 000 фунтів стерлінгів, відняти це, потім знайти 15% нової суми тощо, але знову ж таки, це займе деякий час. Натомість, давайте розглянемо використання мультиплікаторів, як це було зроблено вище.

Якщо ми почнемо зі 100%, зниження на 15% залишить нам 85%. Отже, замість того, щоб думати про це як про те, щоб щороку знаходити зниження на 15%, ми можемо думати про це як про знаходження 85%. 85% як десятковий знак дорівнює 85/100 = 0,85, тому, щоб знайти 85%, ми множимо на 0,85. Щоб зробити це кілька разів, ми використовуємо повноваження, як це було зроблено вище.

Отже, повертаючись до нашого прикладу автомобіля, через 5 років значення становитиме £ 20 000 x 0,85 ⁵ = £ 8 874,11.

Через 10 років вартість складе £ 20 000 x 0,85 ¹⁰ = £ 3937,49.

Подивіться відео нижче для подальших прикладів.

Спільний інтерес на каналі DoingMaths YouTube

© 2020 Девід